Den Primärschlüssel nachträglich einfügen in eine Tabelle von MySQL

Ich hatte den Fall, dass ich eine Tabelle erstellt habe und beim Anschauen der Tabelle habe ich festgestellt, dass der Primary Key, der Primärschlüssel fehlt. Der Primärschlüssel ist nützlich, wenn man etwas bestimmtes ändern möchte, dann kann der Primärschlüssel als erste Referenz in der Suchabfrage nennen kann.

ALTER TABLE `tabelle` ADD `id` INT unsigned NOT NULL AUTO_INCREMENT PRIMARY KEY FIRST;

Hier braucht man nur den Tabellennamen ändern. Alles andere kann unverändert bleiben, es sei denn man möchte für den Namen der Spalte des Primärschlüssels ändern, aber ich denke "id" kann man sich gut merken.